Seja $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ uma sequência convergente, note que $\{x_n|n \in \mathbb{N}\}$ é um conjunto enumerável e portanto fechado, logo se $x_n \rightarrow x$, então $x \in \overline{\{x_n|n \in \mathbb{N}\}} = \{x_n|n \in \mathbb{N}\}$. Com isso, existe um $N \in \mathbb{N}$ tal que $x_n = x, \forall n \ge N$ e portanto, $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ é quase constante.