Seja $\left( X, \tau \right)$ um espaço topológico que satisfaz o primeiro axioma de enumerabilidade. Se para qualquer sequência $\left( x_{n} \right)_{n \in \mathbb{N}}$ for válido que $x_{n} \rightarrow x$ e $x_{n} \rightarrow y$ $\implies x = y$, então $X$ é um espaço $T_{2}$.
Demonstração
Suponha por contradição que $X$ não é $T_{2}$. Sejam $x, y \in X$ tais que quaisquer vizinhanças abertas $U$ de $x$ e $V$ de $y$ são tais que $U \cap V \neq \emptyset$. Sejam $\{ A_{n} : n \in \mathbb{N} \}$ e $\{ B_{n} : n \in \mathbb{N} \}$ sistemas de vizinhanças enumeráves de $x$ e $y$, respectivamente. Para cada $n \in \mathbb{N}$, defina $x_{n} \in A_{n} \cap B_{n}$. Note que $\left( x_{n} \right)_{n \in \mathbb{N}}$ é uma sequência convergente para $x$ e para $y$, uma contradição.
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