O plano de Moore (ou Niemytski) é contrátil.
O plano de Moore $M$ é a união disjunta do semiplano aberto $\mathbb{R}_+^2$ e um raio $\mathcal{R}_a=\{(a,z): z \geq 0\}$ para cada $a \in \mathbb{R}$. O semiplano superior e cada raio tem as suas topologias usuais; $\mathbb{R}_+^2$ é aberto, cada $\mathcal{R}_a$ é fechado e uma sequência $(x_n,y_n) \in \mathbb{R}_+^2$ converge para $(a,z) \in \mathcal{R}_a$ se, e somente se, $x_n \rightarrow a$ e
$$ lim_{n \rightarrow \infty}\frac{y_n}{|x_n-a|}=\frac{1}{z},$$
isto é, $(x_n,y_n)$ se aproxima de $(a,0) \in \mathbb{R}^2$ assintoticamente ao longo de curvas por $(a,0)$ com inclinação $\pm \frac{1}{z}$ (uma reta vertical se $z=0$). O ponto $(a,z)$ tem vizinhanças básicas consistindo de um pequeno intervalo em $\mathcal{R}_a$ e uma (se $z=0$) ou duas (se $z \neq 0$) partes em $\mathbb{R}_+^2$ com vértice $(a,0)$. Tal vizinhança é homeomorfa a um disco em $\mathbb{R}^2$, então $M$ é localmente Euclidiano.
Precisamos das informações acima para escrever a demonstração.
Definiremos uma contração explicita. Primeiro, contrairemos $M$ ao subespaço $Y$ consistindo de $\mathbb{R}_+^2$ e $\{(a,0): a \in \mathbb{R}\}$. Esta contração contrairá cada $\mathcal{R}_a$ no modo usual. Para tornar a contração contínua, retas verticais em $\mathbb{R}_+^2$ devem levadas próximo ao eixo $x$ de tal modo que curvas por $(a,0)$ tenham suas derivadas em $0$ multiplicadas por um fator apropriado.
Uma fórmula para tal contração, para $0\leq t \leq 1$, é:
\begin{equation} h(t,(x,y)) = \begin{cases} f(x,\sqrt{2y+t}-\sqrt{t}) \text{ se } 0 < y \leq 2(1- \sqrt{t});\\ (x,y) \text{, se } y < 2(1- \sqrt{t}) \end{cases} \end{equation}
$h(t,(a,z))=(a,z \sqrt{t})$.
Para ver que $h$ é contínua, note que a derivada de $\phi(y)=\sqrt{2y+t}-\sqrt{t}$ em $0$ é $\frac{1}{\sqrt{t}}$. Portanto, se $t_n \rightarrow t$ e $(x_n,y_n) \rightarrow (a,z)$, isto é, $x_n \rightarrow a$ e $\frac{y_n}{|x_n-a|} \rightarrow \frac{1}{z}$ e $(u_n,v_n)=h(t_n,(x_n,y_n))$, então $u_n \rightarrow a$ (na verdade, $u_n=x_n$) e $\frac{v_n}{|u_n-a|} \rightarrow \frac{1}{z \sqrt{t}}$. Daí, $h(t_n,(x_n,y_n)) \rightarrow h(t,(a,z))$.
Temos que $h(1,.)$ é a identidade sobre $M$ e $h(0,.)$ aplica $M$ em $Y$.
Agora contrairemos $Y$ ao longo da reta vertical para o semiplano $H=\{(x,y): y \geq 1\}$ já que $Y$ pode ser identificado como um conjunto com o semiplano superior fechado, embora a topologia no eixo $x$ seja mais forte que a topologia usual. Logo, contraia o semiplano superior $H$ a um ponto.
Ver também: