Demonstração. Em geral, o produto arbitrario de espaços $T_0$ é $T_0$. Logo, como $\mathbb{R}$ com a topologia usual é $T_0$, então $\prod_{\lambda\in\mathbb{R}}\mathbb{R}$ é $T_0$. Portanto, $C_p(\mathbb{R})$ is $T_0$ já que $C_p(\mathbb{R})$ é subespaço de $\prod_{\lambda\in\mathbb{R}}\mathbb{R}.$