Demonstração. Em geral, o produto arbitrario de espaços $T_3$ é $T_3$. Logo, como $\mathbb{R}$ com a topologia usual é $T_3$, então $\prod_{\lambda\in\mathbb{R}}\mathbb{R}$ é $T_3$. Portanto, $C_p(\mathbb{R})$ é $T_3$ e regular já que $C_p(\mathbb{R})$ é subespaço de $\prod_{\lambda\in\mathbb{R}}\mathbb{R},$ e $C_p(\mathbb{R})$ é $T_1$.