Demonstração. Seja $\mathcal{U}$ uma cobertura aberta de $C_p(\mathbb{R})$. Para cada $f\in C_p(\mathbb{R})$, escolha as vizinhanças abertas $U_f, V_f$ de $f$ de modo que $\overline{V_f}\subset U_f \subset W$, para algum $W \in \mathcal{U}$. Como $C_p(\mathbb{R})$ é Lindelof, podemos tomar um conjunto enumerável $A = \{f_i: i \in \mathbb{N}\} \subset C_p(\mathbb{R})$ tal que $C_p(\mathbb{R}) = \bigcup \{V_{f_i}: i \in \mathbb{N}\}$. Considerando $W_1 =U_{f_1}$ e $W_n = U_{f_n}\setminus(\overline{V}_{f_1}\cup\ldots \cup \overline{V}_{f_{n-1}})$ para cada natural $n\geq 2$, obtemos a família $\mathcal{W} = \{W_n: n\in \mathbb{N}\}$. É claro que, para cada $n\in\mathbb{N}$, existe $W\in\mathcal{U}$ com $W_n \subset W$. Agora, dado $f \in C_p(\mathbb{R})$, defina $n_0 = min\{k \in \mathbb{N}: f \in \overline{V}_{f_k}\}$. É imediato que $f \in W_{n_0}$ e, portanto, $\mathcal{W}$ cobre $C_p(\mathbb{R})$, ou seja, $\mathcal{W}$ é um refinamento de $\mathcal{U}$. Observe também que existe $m \in \mathbb{N}$ tal que $f \in V_{f_m}$. Logo, $V_{f_m} \cap W_k = \varnothing$ para cada $k> m$, o que mostra que a vizinhança aberta $V_{f_m}$ de $f$ intercepta um número finito de elementos de $\mathcal{W}$. Então, $\mathcal{W}$ é localmente finito. Portanto, $C_p(\mathbb{R})$ é paracompacto.