Demonstração. Sejam $A, B$ dois conjuntos fechados disjuntos em $C_p(\mathbb{R})$. Pelo fato de que $C_p (\mathbb{R})$ é regular, para qualquer $f\in A$, existem conjuntos abertos $U_f, G_f$ tais que $f\in U_f$ e $B \subset G_f, U_f \cap G_f = \varnothing$. Portanto, $G_f^c \subset B^c$ e $U_f \subset G_f^c$. Como $G_f$ é aberto, $G_f^c$ é fechado. Assim, temos que

$$U_f \subset\overline{U_f} \subset G_f^c \subset B^c.$$

Claramente, $\mathcal{W} = \{U_f: f \in A\}$ é uma cobertura aberta de $A$. Visto que $C_p(\mathbb{R})$ é um espaço topológico de Lindelöf, existe uma subcobertura enumerável de $\mathcal{W}$ para $A$, i.e.,

$$A \subset \bigcup_{n=1}^{\infty}U_n, \quad U_n \cap B = \varnothing, \forall n\in \mathbb {N}. \tag1 $$

Da mesma forma, existe uma cobertura aberta enumerável para $B$, ou seja,

$$B \subset \bigcup_{n=1}^{\infty}V_n, \quad V_n \cap A = \varnothing, \forall n\in \mathbb{N}, \tag2$$

onde $V_n$ é aberto e $V_n\subset\overline{V_n} \subset A^c$. Agora, para cada $n\in \mathbb{N}$, considerar

$$O_n = U_n\cap\bigcap_{i=1}^{n}\overline{V_i}^c\quad \text{ e } \quad W_n = V_n \cap\bigcap_{i=1}^{n} \overline {U_i}^c.$$

Então, $O_n, W_n$ são abertos. Visto que $\overline{V_i}\subset A^c$, $A\subset\overline{V_i}^c$ para todo $i\in\mathbb{N}$. Observe também que para cada $n\in\mathbb{N},$

$$A\subset\bigcap_{i=1}^{n}\overline{V_i}^c$$

Assim, por $(1)$, inferimos

$$\bigcup_{n = 1}^{\infty}O_n =\bigcup_{n = 1}^{\infty}\left(U_n\cap\bigcap_{i = 1}^{n}\overline{V_i}^c\right) = \bigcup_{n = 1}^{\infty}U_n\cap\bigcap_{i = 1}^{n}\overline{V_i}^c\subset A.$$

Da mesma forma, uma vez que $ B\subset\overline{U_i}^c$, por $(2)$

$$\bigcup_{n = 1}^{\infty} W_n = \bigcup_{n = 1}^{\infty}V_n\cap \bigcap_{i = 1}^{n}\overline {U_i}^c\subset B.$$

Consequentemente, $\bigcup_{n = 1}^{\infty}O_n$ e $\bigcup_{n = 1}^{\infty}W_n$ são coberturas abertas de $A$ e $B$, respectivamente. Além disso sem perda de generalidade, suponha que $n\geq m$, logo

$$O_n\cap W_m = \left (U_n \cap\bigcap_{i = 1}^{n} \overline {V_i}^c\right)\cap\left (V_m \cap\bigcap_{i = 1}^{m}\overline{U_i}^c\right) \subset\overline {V_m}^c\cap V_m\subset{V_m}^c\cap V_m = \varnothing.$$ De tal modo, $O_n \cap W_m = \varnothing$. Assim, temos

$$ \bigcup_{n = 1}^{\infty} O_n \cap \bigcup_{n = 1}^{\infty}W_n =\bigcup_{n, m = 1}^{\infty}(O_n \cap W_m)=\varnothing, $$

i.e., $\bigcup_{n = 1}^{\infty} O_n$ e $\bigcup_{n = 1}^{\infty} W_n $ são disjuntos. Portanto, $C_p (\mathbb {R})$ é um espaço $T_4$ e normal (já que $C_p(\mathbb{R})$ é $T_1$).