Demonstração. Suponha que $C_p(\mathbb{R})$ é metrizável. Como $C_p(\mathbb{R})$ é separável, então é 2nd countable (pois todo espaço métrico separável satisfaz o segundo axioma de enumerabilidade), o que é uma contradição com o fato de que $C_p(\mathbb{R})$ não tem base enumerável.