Demonstração. Seja $\mathcal{B}$ uma base enumerável para o espaço $\mathbb{R}$ com a topologia usual. Para cada $B\subset \mathcal{B}$ e para qualquer intervalo aberto $(a, b)$ na linha real com extremos racionais, considere o seguinte conjunto:

$$[B, (a, b)] = \{f \in C(\mathbb{R}): f(B) \subset (a, b)\}. \tag1$$

Então, a coleção de todos os conjuntos dessa forma em $(1)$ é enumerável. Seja $\mathcal{N}$ a coleção de conjuntos, cada um dos quais é a interseção de finitamente muitos conjuntos da forma $[B, (a, b)]$. Então, $\mathcal{N}$ é uma rede (network) para $C_p(\mathbb{R})$ (i.e., uma coleção de subconjuntos de $C_p(\mathbb{R})$, tal que para cada $f\in C_p(\mathbb{R})$ e para cada aberto $O \subset C_p(\mathbb{R})$ com $f \in O$, existe algum $A\in \mathcal{N}$ tal que $f \in A \subset O$). Para ver isso, seja $f \in O$ onde $O = \bigcap_{x \in F} [x, O_x]$ é um conjunto aberto básico em $C_p (\mathbb{R})$ onde $F \subset X$ é finito, e cada $O_x$ é um intervalo aberto com extremos racionais. Para cada ponto $x \in F$, escolha $B_x \in \mathcal{B}$ com $x \in B_x$ tal que $f(B_x) \subset O_x$. Claramente, $f \in \bigcap_{x \in F} [B_x, O_x] \subset O$. Portanto, $\mathcal{N}$ é uma rede enumerável.

Agora, vamos provar que $C_p (\mathbb{R})$ é Lindelöf. Seja $\mathcal{U}$ uma cobertura aberta para $C_p (\mathbb{R})$. Seja $\mathcal{N}'= \{P \in \mathcal{N}: \exists U(P) \in \mathcal{U} \text{ com } P\subset U(P)\}$. Fixando un $U(P)$ para cada $P\in \mathcal{N}'\}$, a família $\mathcal{U}'= \{U(P): P\in \mathcal {N}'\}$ é uma subcobertura de $\mathcal{U}$ para $C_p(\mathbb{R})$. De fato, só temos que provar que $\mathcal{U}'$ é uma cobertura. Para qualquer $f \in C_p (\mathbb{R})$, existe $U\in \mathcal{U}$ com $f\in U$ (já que $\mathcal{U}$ é cobertura para $C_p(\mathbb{R})$). Pelo fato de $\mathcal{N}$ ser uma rede, existe $P \in \mathcal{N}$ com $f \in P \subset U$. Isso mostra que $P \in \mathcal{N}'$ e, portanto, $x \in P\subset U(P)$. Além disso, como $|\mathcal{U}'| \leq |\mathcal{N}'| \leq |\mathcal{N}|$, então $\mathcal{U}'$ é uma subcobertura enumerável de $\mathcal{U}$ para $C_p(\mathbb{R})$. Portanto, $C_p(\mathbb{R})$ é Lindelöf.