Demonstração. Em geral, o produto arbitrario de espaços $T_{3\frac{1}{2}}$ é $T_{3\frac{1}{2}}$ . Logo, como $\mathbb{R}$ com a topologia usual é $T_{3\frac{1}{2}}$ , então $\prod_{\lambda\in\mathbb{R}}\mathbb{R}$ é $T_{3\frac{1}{2}}$ . Portanto, $C_p(\mathbb{R})$ é $T_{3\frac{1}{2}}$ e completamente regular já que $C_p(\mathbb{R})$ é subespaço de $\prod_{\lambda\in\mathbb{R}}\mathbb{R},$ e $C_p(\mathbb{R})$ é $T_1$.