Demonstração. Suponha que $C_p(\mathbb{R})$ é compacto, então é compacto Hausdorff (visto que $C_p(\mathbb{R})$ é $T_2$). Devido a que Hausdorff-compacidade implica compacidade local, temos que $C_p(\mathbb{R})$ é localmente compacto, o que é uma contradição pelo fato de C_p(\mathbb{R}) não é localmente compacto.