Demonstração. Note que

$$Id_{C_{p}([0,1])}:C_{p}([0,1])\rightarrow C_{p}([0,1])$$ $$~~~~~~~~~~~~~~~~~~f \mapsto f,$$ é homotópica à função nula. De fato, considere a homotopia

$$H: C_{p}([0,1]) \times [0,1] \rightarrow C_{p}([0,1])$$ $$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(f,t)\mapsto (1-t)Id_{C_{p}([0,1])}(f),$$ que é contínua, uma vez que é o produto de funções contínuas. $~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\square$