Sejam \(x\neq y\) elementos de \(X\). Temos que considerar as seguintes possibilidades:

• \(x=p\) e \(y=(y_1,y_2)\in S\):

Então seja \(n>y_1+2\) e temos \(x\in U_n \bigcup \{p\}\), \(y \in A_{y_1}\) e esses abertos são disjuntos.

• \(x=(x_1,0) \in S\), \(y=(y_1,0)\in S\):

Podemos tomar os conjuntos \(W_x=A_{x_1}\setminus A_{y_1}\) e \(W_y=A_{y_1}\setminus A_{x_1}\). Note que são abertos do tipo (2), disjuntos e separam \(x\) e \(y\).

• \(x=(x_1,x_2)\in S\), \(y=(y_1,y_2)\in S\) e \(y_2>0\):

Então tome os abertos \(W_x=A_{x_1}\setminus \{y\}\) e \(W_y=\{y\}\).