$\left( \mathbb{Q}^{*}, \tau^{*} \right)$ é $T_{0}$ e $T_{1}$, mas não satisfaz nenhum outro axioma de separação
Demonstração
De fato, qualquer compactificação de um ponto $\left( X^{*}, \tau^{*} \right)$ é um espaço $T_{1}$ se, e somente se, $\left( X, \tau \right)$ é um espaço $T_{1}$. Como $\mathbb{Q}$ com a topologia induzida dos reais é $T_{1}$, temos que $\left( \mathbb{Q}^{*}, \tau^{*} \right)$ é $T_{1}$. Segue logicamente que $\left( \mathbb{Q}^{*}, \tau^{*} \right)$ é $T_{0}$.
Agora, note que basta mostrar que $\left( \mathbb{Q}^{*}, \tau^{*} \right)$ não de $T_{2}$. De fato, como $\left( \mathbb{Q}^{*}, \tau^{*} \right)$ é $T_{1}$, então $T_{4} \implies T_{3} \implies T_{2}$. Além disso, $T_{3\frac{1}{2}} \implies T_{3}$. Assim, a negação de $\left( \mathbb{Q}^{*}, \tau^{*} \right)$ ser $T_{2}$ implica que nenhum outro axioma de separação é satisfeito.
Tendo isso, note que qualquer qualquer compactificação de um ponto $\left( X^{*}, \tau^{*} \right)$ é $T_{2}$ se, e somente se, $\left( X, \tau \right)$ é $T_{2}$ e localmente compacto. Como $\mathbb{Q}$ é $T_{2}$, o resultado segue da seguinte afirmação:
Afirmação: $\mathbb{Q}$ não é localmente compacto
Demonstração: De fato, sejam $a < b \in \mathbb{R}$ e $\left( a, b \right)_{\mathbb{Q}} = \left( a, b \right) \cap \mathbb{Q}$ um aberto de $\mathbb{Q}$. Seja $\left( c_{n} \right)_{n \in \mathbb{N}}$ uma sequencia de irracionais tais que $a < c_{0} < c_{1} < \ldots < c_{n} < \ldots < b$ e cujo limite é $b$. Note que $$ \left( \left( a, c_{0} \right) \cup \left[ \bigcup_{n \in \mathbb{N}} \left( c_{n}, c_{n+1} \right) \right] \right)_{\mathbb{Q}} $$ é uma cobertura aberta para $\left( a, b \right)_{\mathbb{Q}}$ sem subcobertura finita. Logo, qualquer subconjunto de $\mathbb{Q}$ que contém um aberto não pode ser compacto. Em particular, nenhuma vizinhança em $\mathbb{Q}$ é compacta e, logo, $\mathbb{Q}$ não é localmente compacto. $\square$
$\square$