Compactificação de um ponto de $\mathbb{Q}$
Compactificação de um ponto de um espaço topológico
Seja $\left( X, \tau \right)$ um espaço topológico não vazio. Seja $p \notin X$. Definimos a compactificação de um ponto de $X$ como $$ X^{*} = X \cup \{ p \} $$ cuja topologia $\tau^{*}$ é tal que $A \subset X^{*}$ é aberto se $A \in \tau$ ou $A = K^{C}$ sendo $K$ fechado e compacto em $\left( X, \tau \right)$.
Proposição 1: $\left( X^{*}, \tau^{*} \right)$ é compacto.
Demonstração: De fato, seja $\mathcal{C}$ uma cobertura aberta de $X^{*}$. Seja $A \in \mathcal{C}$ tal que $p \in A$. Note que $A \notin \tau$, pois $p \notin X$. Logo, pela definição de $\tau^{*}$, $A^{C}$ é um fechado compacto de $\left( X, \tau \right)$. Logo, $\exists A_{1},\ldots,A_{n} \in \mathcal{C} \cap \tau$ tal que $A^{C} \subset \bigcup_{j = 1}^{n} A_{j}$. Note que $X^{*} = A \cup A_{1} \cup \ldots \cup A_{n}$ é uma subcobertura finita de $\mathcal{C}$. $\square$
Proposição 2: $\left( X^{*}, \tau^{*} \right) \text{ é } T_{1} \iff \left( X, \tau \right) \text{ é } T_{1}$
Demonstração: A implicação direta segue diretamente do fato de $\left( X, \tau \right)$ ser subespaço de $\left( X^{*}, \tau^{*} \right)$.
Assuma que $\left( X, \tau \right)$ é $T_{1}$. Vamos mostrar que conjuntos unitários são fechados. Primeiramente, $X^{*} \setminus \{ p \} = X \in \tau$ e, logo, $\{ p \}^{C}$ é aberto. Agora, seja $x \in X^{*}$, $x \neq p$. Como $X$ é $T_{1}$, $X^{*} \setminus \{ x \}$ é um aberto de $X^{*}$ contendo $p$. Logo, $\{ x \}$ é fechado em $X^{*}$, e temos o resultado. $\square$.
Proposição 3: $\left( X^{*}, \tau^{*} \right) \text{ é } T_{2} \iff \left( X, \tau \right) \text{ é } T_{2}$ e localmente compacto.
Demonstração: Assuma que $\left( X^{*}, \tau^{*} \right)$ é $T_{2}$. Que $\left( X, \tau \right)$ é $T_{2}$, segue do fato de $X$ ser subespaço de $X^{*}$. Resta mostrar a compacidade local. Seja $x \in X$. Seja $U$ uma vizinhança aberta de $x$ e $V$ uma vizinhança aberta de $p$ com $U \cap V = \emptyset$. Então $V^{C}$ é uma vizinhança compacta de $x$.
Suponha agora que $\left( X, \tau \right)$ é $T_{2}$ e localmente compacto. Sejam $x,y \in X^{*}$. Se $x,y \in X$, então eles são separados por abertos disjuntos, pois $X$ é $T_{2}$ por hipótese. Seja então $y = p$ e $x \in X$. Seja $K \ni x$ uma vizinhança compacta de $x$. Então $K^{C}$ é um aberto de $X^{*}$ que contém $p$. É claro que qualquer aberto $V$ tal que $x \in V \subset K$ é disjunto de $K^{C}$. Assim, separamos $x$ de $p$ por abertos disjuntos. $\square$
Compactificação de um ponto de $\mathbb{Q}$
Seja $\left( \mathbb{Q}, \tau \right)$ o conjunto dos números racionais com a topologia usual induzida de $\mathbb{R}$. Defina $\left( \mathbb{Q}^{*}, \tau^{*} \right)$ sua compactificação de um ponto, com $\mathbb{Q}^{*} = \mathbb{Q} \cup \{ p \}$.
Axiomas de separação:
- Satisfaz $T_{0}$
- Satisfaz $T_{1}$
- Não satisfaz $T_{2}, T_{3}, T_{4}$ ou $T_{3\frac{1}{2}}$
Axiomas de enumerabilidade
- Não satisfaz os dois primeiros axiomas de enumerabilidade
- É separável
Propriedades adicionais
- É compacto (segue diretamente da definição)
- É conexo (Demonstração)
- Não é metrizável (Pois é separável e não satisfaz o segundo axioma de enumerabilidade)