Satisfaz $T_2$
Demonstração:
Dados $p,q \in \mathbb{Z^2_+}$ com $p \neq q$. Necessariamente um dos pontos é diferente da origem e assim ao menos um deles é aberto. Podemos supor, sem perdas, $p$ aberto. Note que $p \in \{p \}$ e $ q \in \mathbb{Z^2_+} \setminus \{p\}$. Como $\{p\},\ \mathbb{Z^2_+} \setminus \{p\} \in \tau$ e $\{p\}\cap \mathbb{Z^2_+} \setminus \{p\} = \emptyset$, $(\mathbb{Z^2_+},\tau)$ é $T_2$.
Demonstração Alternativa:
O espaço de Arens-Fort é regular, então é de Hausdorff.