Suponha $(\mathbb{Z^2_+},\tau)$ localmente compacto e uma vizinhança compacta $V \subset \mathbb{Z^2_+}$ da origem. Pela definição, sabemos que existe $m_p\in \mathbb{N}$ tal que o conjunto $Y_{m_p}=\{n\ | \ (m_p,n) \notin V\}$ é finito e portanto $P_{m_p}=\{(m_p, n)\ |\ (m_p,n) \in V\}$ é um conjunto infinito. Repare, que $P_{m_p}$ é uma união de abertos, logo é um aberto. Tome então a cobertura de $V$ dada por, $\mathcal{A}= \{\{(m_p, n)\}\ |\ (m_p, n)\in V\} \cup \ V\setminus{P_{m_p}}$, note que $\mathcal{A}$ é aberta, infinita, com elementos dois a dos disjuntos e $\bigcup_{A \in \mathcal{A}}A = V$. Ou seja, $\mathcal{A}$ não admite uma subcobertura finita $\downarrow$.
Portanto, o espaço de Arens-Fort não é localmente compacto.