Segue de $[0,1]\subset\mathbb{R}$ ser convexo.

Basta considerar a métrica herdada de $\mathbb{R}$ com a métrica usual.

Segue de ser espaço de Hausdorff compacto. Demo.

Basta notar que $[0,1]$ não pode admitir base de abertos fechados porque, sendo conexo, tem apenas $\emptyset$ e $[0,1]$ como abertos fechados.