Segue de ser produto de conexos. Demo.

Segue de ser localmente conexo por caminhos.

Segue de ser produto de conexos por caminhos. Demo.

Também segue de ser conexo e localmente conexo por caminhos. Demo.

Seja $(x_i)_{i\in\mathbb{N}}\in[0,1]^{\mathbb{N}}$. Sabemos que $[0,1]$ é conexo por caminhos e que existe $\mathcal{B}_i$ base local para $x_i$ conexa por caminhos.

Considere os abertos da forma $A=\prod_{i\in\mathbb{N}}V_i$ com $V_i\in\mathcal{B}_i$ se $i\in F$ e $V_i=[0,1]$ caso contrário, para cada $F\subset\mathbb{N}$ finito.

Cada $A$ é conexo por caminhos por ser produto de conexos por caminhos. Basta tomar o conjunto desses $A$ como base local para $(x_i)_{i\in\mathbb{N}}$ conexa por caminhos, e segue o resultado.