Espaço Regular
Seja $(X,\tau)$ um espaço topológico. Diremos que $(X,\tau)$ é $T_3$ se, para quaisquer $x\in X$ e $F\subset X$ fechado, com $x\notin F$, existirem abertos $A$ e $B$ tais que $x\in A$, $F\subset B$ e $A\cap B = \emptyset$. Se, além de ser $T_3$, $(X,\tau)$ for $T_1$, diremos que $(X,\tau)$ é espaço regular1).
Ao mudar a perspectiva, do fechado que não contém $x$ para o aberto que o contém, a definição pode ser feita como: Dados $x\in X$ e $V\subset X$ aberto tais que $x\in V$, existe uma vizinhança $A$ de $x$ e um aberto $B$ tais que $A\cap B =\emptyset$ e $V\cup B=X$.
Proposição
$(X,\tau)$ é $T_3$ se, e somente se, para todo $x\in X$ e para todo aberto $V$ tais que $x\in X$, existe um aberto $A$ tal que $x\in A\subset \overline{A}\subset V$
Corolário
$(X,\tau)$ é $T_3$ se, e somente se, todo $x\in X$ admite um sistema fundamental de vizinhanças fechadas para $x$.
Todo subespaço de espaço regular é regular. Demonstração
Exemplos
Métrico
$\mathbb{R}$ é regular. Basta ver que $\{[x-\frac{1}{n}, x+\frac{1}{n}]:n\in \mathbb{N}_{>0}\}$ é um sistema fundamental de vizinhanças fechadas para $x\in \mathbb{R}$.
Não métrico
A Reta de Sorgenfrey é regular.
Exemplos
Espaços que satisfazem tal axioma
Espaços que não satisfazem tal axioma
Veja Também
Todo espaço regular enumerável é zero-dimensional. Demonstração