Dizemos que $(X, d)$ é um espaço métrico se $X$ é um conjunto e $d: X \times X \to \mathbb R_{\geq 0}$ é uma função satisfazendo, para todo $x, y , z \in X$:

• $d(x, y) = 0$ se, e somente se, $x = y$;
• $d(x, y) = d(y, x)$;
• $d(x, y) \leq d(x, z) + d(z, y)$.

Neste caso, dizemos que $d$ é uma métrica sobre $X$.

Dado $x \in X$ e $r \in \mathbb R_{>0}$, denotamos por $B_r(x) = \{y \in X: d(x, y) < r\}$. Tal conjunto é chamado de bola aberta de centro $x$ e raio $r$.

Um aberto em $X$ é um conjunto $A \subset X$ satisfazendo: \[\forall a \in A \ \exists r > 0 \ B_r(a) \subset A\]

Note que a coleção dos abertos como definido acima é, de fato, uma topologia.

A Reta de Sorgenfrey é um exemplo de espaço não metrizável, pois é separável, mas não admite base enumerável. Então pela proposição:

Se $(X,d)$ é um espaço métrico separável, então $(X,d)$ satisfaz o segundo axioma de enumerabilidade,

ele não é metrizável.

Veja também:

* Separabilidade