Caracterização para conjuntos discretos fechados em espaços $T_1$
Seja $(X,\tau)$ um espaço topológico $T_1$. Um conjunto $D \subset X$ é discreto (isto é, a topologia induzida por $\tau$ em $D$ é a topologia discreta) e fechado se, e somente se, a família $\mathcal{F} =\{ \{ d \}: d \in D \}$ é localmente finita.
Demonstração. Dado um aberto $V$, observe que $$\left\vert \left\{ F \in \mathcal F: V \cap F \neq \varnothing \right\} \right\vert = \left\vert \left\{ d \in D: d \in V \right\} \right\vert = \vert D \cap V\vert,$$ logo, podemos afirmar que $\mathcal{F}$ é localmente finita se, e somente se, para todo $x \in X$, existe um aberto $V \ni x$ tal que $D \cap V$ é finito.
($\Rightarrow$) Se $D$ é discreto, então a topologia $\tau_D$ em $D$ induzida por $\tau$ é dada por $$ \tau_D = \{D \cap V: V \in \tau\} = \mathcal{P}(D). $$ Seja $x \in X$. Se $x \in D$, então $\{ x \} \in \mathcal{P}(D)$, logo, existe $V \in \tau$ tal que $\{ x \} = D \cap V$, então $x \in V$ e $D \cap V$ é finito. Se $x \notin D$, tome o aberto $V = X \backslash D \in \tau$, uma vez que $D$ é fechado, então $x \in V$ e $D \cap V = \varnothing$ é finito.
($\Leftarrow$) Suponha $\mathcal{F}$ localmente finita, sabe-se que $\cup_{F \in \mathcal{F}} \overline{F} = \cup_{d \in D} \{ d\} = D$ é fechado, pois os conjuntos unitários em um espaço $T_1$ são fechados. Resta então provar que $D$ é discreto, para isso, considere $A \in \mathcal{P}(D)$. Por hipótese, dado $x \in A$, existe um aberto $V_x \ni x$ tal que $D \cap V_x$ é finito, além disso, pelo Princípio da Boa Ordem, podemos tomar $V_x$ de modo a minimizar $\vert D \cap V_x \vert$. Como $x \in A \subset D$ e $x \in V_x$, temos $ D \cap V_x \neq \varnothing$ e ainda temos $D \cap V_x = \{ x \}$. De fato, suponha por absurdo que exista $y \neq x$ tal que $y \in D \cap V_x$, como $\{ y\}$ é fechado, segue que $W = V_x \backslash \{ y \}$ é um aberto tal que $W \ni x$ e $\vert D \cap W \vert = \vert D \cap V_x \vert - 1$, contrariando a minimalidade de $V_x$, portanto, tal $y$ não pode existir. Provado este fato, defina o aberto $V = \cup_{x \in A} V_x$, onde cada $V_x$ é obtido da maneira feita acima, então $D \cap V = \cup_{x \in A} (D \cap V_x) = \cup_{x \in A} \{ x \} = A$. Dessa maneira, conseguimos escrever cada $A \in \mathcal{P}(D)$ como interseção de $D$ com um aberto de $X$, portanto, a topologia induzida por $\tau$ em $D$ é discreta.