Inicialmente, suponha que $Y$ seja raro em $X$. Isto é, $Int(\overline{Y}) = \emptyset$. Note que:

$\overline{Y} \setminus Int(\overline{Y}) = \overline{Y} \Rightarrow \partial \overline{Y} = \overline{Y} \Rightarrow \partial \overline{Y} = \overline{Y} \cap \overline{X \setminus \overline{Y}} = \overline{Y} \Rightarrow \overline{Y} \subset \overline{X \setminus \overline{Y}}$

$\Rightarrow \overline{X \diagdown \overline{Y}} = X$ e então ${X \diagdown \overline{Y}}$ é denso em $X$.

Agora, suponha que ${X \diagdown \overline{Y}}$ seja denso em $X$. Isto é, $\overline{X \diagdown \overline{Y}} = X$. Note que, dado que $\overline{Y} \subset \overline{X \diagdown \overline{Y}} = X$ e que $\partial \overline{Y} = \overline{Y} \cap \overline{X \setminus \overline{Y}}$:

$\overline{Y} = \partial \overline{Y} = \overline{Y} \diagdown Int(\overline{Y})$

$\Rightarrow Int(\overline{Y}) = \emptyset$ e então $Y$ é raro em $X$.