De fato, veja que $\mathbb{R_{\mathbb{S}}}$ não é localmente compacto e $\mathbb{R_{\mathbb{S}}}$ não é metrizável (logo não pode ser completamente metrizável).

Mostremos que $\mathbb{R_{\mathbb{S}}}$ é de Baire.
Note que se $A$ é aberto denso em $\mathbb{R_{\mathbb{S}}}$, podemos escrever $A=\bigcup_{i \in I}[a_i,b_i[$ . Considere então o aberto $A'=\bigcup_{i \in I}\ ]a_i,b_i[\ \subset A$, dados $a<b$, temos $]a,b[\ \subset \ \mathbb{R}$ é aberto em $\mathbb{R_{\mathbb{S}}}$ e, pela densidade de $A$ em $\mathbb{R}_{S}$, segue que $]a,b[\ \cap A \ \neq \emptyset$ . Dado $i \in I$ tal que $]a,b[\ \cap \ [a_i,b_i[\ \neq \emptyset$, temos $]a,b[\ \cap]a_i,b_i[\ \neq \emptyset$ e segue que $]a,b[\ \cap A'\ \neq \emptyset$ . Portanto, todo aberto denso da reta de Sorgenfrey contém um aberto denso em $\mathbb{R}$ . Logo, seja $(A'_n)_{n \in \mathbb{N}}$ tal que $\forall n \ A'_n\ \subset \ A_n$ com $A'_n$ aberto denso em $\mathbb{R}$. Como $\mathbb{R}$ é métrico completo, $\mathbb{R}$ é de Baire e temos $\bigcap_{n \in \mathbb{N}} \ A'_n$ é denso em $\mathbb{R}$ e portanto denso em $\mathbb{R_{\mathbb{S}}}$. Como $\bigcap_{n \in \mathbb{N}} \ A'\ \subset \ \bigcap_{n \in \mathbb{N}} \ A$, $\mathbb{R_{\mathbb{S}}}$ é de Baire. $\square$