Ser conexo por caminhos é um invariante topológico.

Suponha $X$ um espaço conexos por caminhos.

Seja $f:X \longrightarrow Y$ uma função bijetora contínua. Tome $x,y \in Y$. Então podemos encontrar $x',y' \in X$, tal que $f(x')=x$ e $f(y')=y$. Como $X$ é conexo por caminhos, podemos encontrar um caminho $g:[0,1] \longrightarrow X$ de $x'$ a $y'$, isto é, tal que $g(0)=x'$ e $g(1)=y'$.

Note que $(fog)(0)=x$ e $(fog)(1)=y$. Logo, $fog$ é um caminho de $x$ para $y$. Em particular, $Y$ é um caminho conexo. Portanto, caminhos conexos são preservados por continuidade, sobrejeção e $fog$ é injetora, isto é, preservados por homeomorfismo.