Proposição. Se $(X, \tau)$ satisfaz o primeiro axioma de enumerabilidade, então todo $x \in X$ admite uma base local enumerável e descrescente, ou seja, uma base local $(V_n)_{n \in \mathbb{N}}$ tal que $V_{n+1} \subset V_n$, para todo $n \in \mathbb{N}$.

Ideia: Dados $x \in X$ e $(U_n)_{n \in \mathbb{N}}$ uma base local em $x$, defina $V_n=\bigcap_{k \leq n} U_k$.