Suponha que $x \ne y$, então existem abertos $A \ni x$ e $B \ni y$ tais que $A \cap B = \emptyset$, além disso como $x_n \rightarrow x$ e $x_n \rightarrow y$, existem $n_x, n_y \in \mathbb{N}$ tais que $x_n \in A, \forall n \ge n_x$ e $x_n \in B, \forall n \ge n_y$. Logo, se tomarmos $N=max\{n_x, n_y\}$ segue que $x_n \in A \cap B, \forall n \ge N$ $(\Rightarrow \Leftarrow)$. Portanto, $x=y$.