Considere a relação $x$~$y$ dada por existe um caminho de $x$ para $y$. Então ela é uma relação de equivalência.

(i) Reflexiva: existe um caminho constante $f:[0,1] \longrightarrow X$ dada por $f(x)=x$ com $t \in [0,1]$ para cada $x \in X$. Daí, $f(0)=f(1)=x$.

(ii) Simétrica: Seja $f:[0,1] \longrightarrow X$ é um caminho de $x$ para $y$ com $x,y \in X$. Tome o caminho inverso, uma função $g:[0,1] \longrightarrow X$ dada por $g(t) = f(1-t)$ de $y$ para $x$. Assim, se $f(0)= x$ e $f(1)=y$, então $g(0)=f(1)=y$ e $g(1)=f(0)=x$.

(iii) Transitiva: Se existe um caminho de $x$ para $y$ e de $y$ para $z$, então existe um caminho de $x$ para $z$.
Sejam $f,g:[0,1] \longrightarrow X$.

Se existe um caminho de $x$ para $y$ com $x,y \in X$, logo temos que $f(0)=x$ e $f(1)=y$. Se existe um caminho de $y$ para $z$ com $y,z \in X$, logo temos que $g(0)=f(1)=y$ e $g(1)=z$.

Considere $l(t):[0,1] \longrightarrow X$ dada por

\begin{equation} l(t) = \begin{cases} f(2t) \text{, se } 0 \leq t \leq \frac{1}{2}\\ g(2t-1)\text {, se }\frac{1}{2} \leq t \leq 1 \end{cases} \end{equation}

Dessa forma, obtemos:

$l(0)=f(0)=x$.

$l(\frac{1}{2})=f(1)=y$ e $h(t)(\frac{1}{2})=g(0)=y$.

$l(1)=g(1)=z$

Portanto, existe um caminho de $x$ para $z$.