$(\Leftarrow)$ Dados $x,y \in X$ distintos, considere os conjuntos $\mathcal{B}_x = \{ V \in \tau: x \in V \}$ e $\mathcal{B}_y = \{ V \in \tau: y \in V \}$. Pode-se verificar que $\mathcal{B}_x$ e $\mathcal{B}_y$ são bases locais para $x$ e $y$, respectivamente. Por hipótese, devemos ter $\mathcal{B}_x \neq \mathcal{B}_y$, então, sem perda de generalidade, podemos assumir que existe $V \in \mathcal{B}_x$ com $V \notin \mathcal{B}_y$. Pela definição destes conjuntos, $V$ é um aberto tal que $x \in V$ e $y \notin V$, então $(X,\tau)$ é $T_0$.

$(\Rightarrow)$ Tome $x,y \in X$ distintos e bases locais $\mathcal{B}_x$ e $\mathcal{B}_y$ para $x$ e $y$, respectivamente. Por hipótese, $(X,\tau)$ um espaço $T_0$, logo, sem perda de generalidade, deve existir $A \in \tau$ tal que $x \in A$ e $y \notin A$. Como $\mathcal{B}_x$ é uma base local para $x$, existe um aberto $V \in \mathcal{B}$ tal que $x \in V \subset A$, então obtemos que $x \in V$ e $y \notin V$. Deste modo, $V \notin \mathcal{B}_y$ pois $V$ não é uma vizinhança de $y$, logo, $\mathcal{B}_x \neq \mathcal{B}_y$, como queríamos provar.