Seja $(X,\tau)$ um espaço topológico. $D \subset X$ é denso se, e somente se, para todo aberto não vazio $A$, $A \cap D \neq \emptyset$.
$D$ sendo denso em $X$, então, por definição, $\overline{D} = X$. Seja $x \in X$ e $A$ uma vizinhança aberta de $x$ tal que $x \in A$. Como $x \in X=\overline{D}$, assim, $A \cap D \neq \emptyset$.
Reciprocamente, suponha que $\overline{D} \neq X$ e seja $x \notin \overline{D}$. Então existe uma vizinhança aberta $A$ de $x$ tal que $D \cap A = \emptyset$. Absurdo!
Logo, $D$ é denso em $X$.