Sejam $H_{f}$ e $H_{g}$ tais que $H_{f}(\cdot, 0) = f_1$, $H_{f}(\cdot, 1) = f_2$, $H_{g}(\cdot,0) = g_1$ e $H_{g}(\cdot,1) = g_2$. Defina $H'(x,t) = H_{g}(f_1(x), t)$. $H'$ é contínua pois é composta de contínuas. Além disso, $H'(x,0) = H_{g}(f_1(x), 0) = g_1(f_1(x))$, para todo $x \in X$, logo $H'(\cdot, 0) = g_1 \circ f_1$. De modo análogo, $H'(\cdot,1) = g_2 \circ f_1$, de onde segue que $g_1 \circ f_1 \simeq g_2 \circ f_1$. Defina agora $H''(x,t) = g_2(H_{f}(x,t))$, segue imediatamente que $H''$ é contínua, além disso, $H''(\cdot,0) = g_2 \circ f_1$ e $H''(\cdot,1) = g_2 \circ f_2$, logo $g_2 \circ f_1 \simeq g_2 \circ f_2$. Portanto, pela transitividade de $\simeq$, segue que $g_1 \circ f_1 = g_2 \circ f_2$.