Denotamos $\tau_{Y}$ a topologia de $Y$ como subespaço. Sejam $x \in Y$ e $A' \in \tau_{Y}$ tais que $x \in A'$. Assim, existe $A \in \tau$ tal que $A' = Y \cap A$, o que implica $x \in A$. Como $\mathcal{B}$ é base, existe $B \in \mathcal{B}$ tal que $x \in B \subset A$. De onde segue que $x \in Y \cap B \subset Y \cap A = A'$. Mostramos que $B'= Y \cap B \in \mathcal{B'}$, satisfaz $ x \in B' \subset A'$. Portanto, $\mathcal{B'}$ é uma base para $(Y, \tau_{Y})$.