Sejam $A \in \tau$ e $x \in X$ tais que $x \in A$. Como $\mathcal{B}$ é base, podemos escrever $A = \bigcup_{B \in \mathcal{B'}} B$, onde $\mathcal{B'} \subset \mathcal{B}$. Tomamos $B \in \mathcal{B'}$ tal que $x \in B$. Temos, então, que $x \in B \subset A$.

Reciprocamente, se $\mathcal{B}$ é uma família como no enunciado e $A$ é um aberto não vazio, então para cada elemento $x \in A$, existe um conjunto $B_{x} \in \mathcal{B}$ tal que $x \in B_{x} \subset A$. De onde segue que $A = \bigcup_{x \in A} B_{x}$.