Se $(X,d)$ é separável, então admite um subconjunto denso enumerável. Seja $\{x_n:n \in \mathbb{N}\}$ esse subconjunto em $X$.

Considere $\mathcal{B}=\{B_{\frac{1}{m}}(x_n):n \in \mathbb{N}, m \in \mathbb{N}_{>0}\}$ enumerável, pois é o produto de enumeráveis.

Queremos mostrar que $\mathcal{B}$ é uma base.

Sejam $A$ aberto e $x \in A$. Seja $\varepsilon >0$ tal que $B_\varepsilon (x) \subset A$. Seja $m \in \mathbb{N}$ tal que $\frac{1}{m} < \frac{\varepsilon}{2}$. Como $\{x_n: n \in \mathbb{N}\}$ é denso em $X$, existe $x_n \in B_{\frac{1}{m}}(x)$. O aberto $B_{\frac{1}{m}}(x)$ intercepta o denso, daí $x$ é aderente. A bola aberta de um ponto aderente tem algum elemento do denso.

Queremos mostrar que $x \in B_{\frac{1}{m}}(x) \in B_\varepsilon (x)$. Note que $x \in B_{\frac{1}{m}}(x_n)$, pois $d(x,x_n) < \frac{1}{m}$. Temos também que $B_{\frac{1}{m}}(x_n) \in B_\varepsilon (x)$, pois dado $a \in B_{\frac{1}{m}}(x_n)$, temos:

$d(x,a) \leq d(a,x_n)+d(x_n,x)< \frac{1}{m}+\frac{1}{m}<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}<{\varepsilon}$.