$(X,\tau)$ é $T_3$ se, e somente se, todo $x\in X$ admite um sistema fundamental de vizinhanças fechadas para $x$.
($\Rightarrow$)
Seja $(X,\tau)$ um espaço topológico $T_3$ . Para cada conjunto aberto $A$ com $x\in A$, considere os abertos $\mathcal{O}_A$ e $\mathcal{P}_A$ tais que $x\in \mathcal{O}_A$, $\mathcal{P}_A\supset X\setminus A$ e $\mathcal{O}_A\cap \mathcal{P}_A = \emptyset$, cujas existências estão garantidas pela hipótese do espaço ser $T_3$. Como $\mathcal{O}_A\subset X\setminus \mathcal{P}_A$, então $X\setminus \mathcal{P}_A$ é uma vizinhança fechada de $x$. Por outro lado, $X\setminus \mathcal{P}_A \subset A$. Dessa forma, o conjunto de todos $X\setminus \mathcal{P}_A$ é um sistema fundamental de vizinhanças fechadas para $x$.
($\Leftarrow$)
Se todo $x\in X$ admite um sistema fundamental de vizinhanças fechadas, concluímos, por definição, que $(X,\tau)$ é $T_3$. $\blacksquare$