Proposição. Se $(X, \tau)$ satisfaz o primeiro axioma de enumerabilidade, então todo $x \in X$ admite uma base local enumerável e descrescente, ou seja, uma base local $(V_n)_{n \in \mathbb{N}}$ tal que $V_{n+1} \subset V_n$, para todo $n \in \mathbb{N}$.

Demonstração: Seja $(U_n)_{n \in \mathbb{N}}$ uma base local enumerável para $x \in X$. Se $V_n=\bigcap_{k \leq n} U_k$, então $x \in V_n$ e $V_n$ é aberto, para todo $n \in \mathbb{N}$. Além disso, $V_{n+1}=V_n \cap U_{n+1} \subset V_n$. Por fim, vejamos que $(V_n)_{n \in \mathbb{N}}$ é uma base local de $x$. Seja $U$ aberto tal que $x \in U$, então existe $U_N$, $N \in \mathbb{N}$, tal que $U_N \subset U$. Neste caso, temos que $V_N \subset U_N \subset U$, o que completa esta prova.