Definição e Lema da Sub-Base de Alexander
O conceito de compacidade é de grande importância em Topologia. Vamos conhecê-lo!
Definição
Dado um espaço topológico $(X,\tau)$, dizemos que $\mathcal{F}\subset \mathcal{P}(X)$ é uma cobertura de $X$ se $\bigcup_{Y\in \mathcal{F}} Y=X$. e for o caso em que $\mathcal{F}\subset \tau$, então dizemos que $\mathcal{F}$ é uma cobertura aberta de $X$.
Definição
Dizemos que $(X,\tau)$ é compacto se toda cobertura aberta de $X$ admite subcobertura finita, i.e., dada cobertura $\mathcal{F}\subset \tau$ de $X$ existe $\mathcal{G}\subset \mathcal{F}$ finito tal que $\mathcal{G}$ é cobertura de $X$.
Alguns exemplos:
Exemplo
Seja $X$ um conjunto e $\tau=\{S\subset X:X\setminus S\text{ é finito}\}\cup\{\emptyset\}$ é a topologia cofinita em $X$, então $(X,\tau)$ é compacto. Demonstração
Exemplo
$X=B_1(0)\subset \mathbb{R}^n$ com a topologia induzida pela métrica euclidiana não é compacto. Demonstração
Caracterizaremos a seguir os espaços compactos, de forma que possamos investigar apenas coberturas com conjuntos numa família “menor” que a de todos os abertos.
Definição
Dado um espaço topológico $(X,\tau)$, dizemos que $\mathcal{B}$ é sub-base para $X$ se $$\mathcal{B}':=\left\{\bigcap_{i=1}^k B_i:k\in \mathbb{N},\ B_1,\dots,B_k\in \mathcal{B}\right\}$$ é uma base para $X$. Note que, como $\mathcal{B}\subset \mathcal{B}'$, então todos os elementos de $\mathcal{B}$ são abertos de $\tau$.
Lema (sub-base de Alexander)
Seja $(X,\tau)$ espaço topológico e $\mathcal{B}$ sub-base para $X$. Então $$(X,\tau)\text{ é compacto}\iff \text{toda cobertura }\mathcal{F}\subset \mathcal{B}\text{ de }X\text{ admite subcobertura finita}$$ Demonstração
Exemplo
O intervalo $[0,1]$ com a topologia induzida pela métrica euclidiana é compacto. Demonstração