Seja $f:\ [0,1] \rightarrow \mathbb{R^2}$ contínua e injetiva. Então $f([0,1])$ tem interior vazio.

Demonstração:

Suponha que o interior da imagem de $f$ é não vazio, então existe $x\in f([0,1])$ e $\epsilon > 0$ de modo que $B(x,\epsilon)\subset f([0,1])$.
Note que como o domínio é compacto e $f$ é contínua e injetora, se restringirmos o contradomínio à $Im(f)$, temos que $f$ é um homeomorfismo. Segue então que $f^{-1}[B(x,\epsilon)]$ é um conexo aberto de $\mathbb{R}$ (pois como o domínio é conexo, $B(x,\epsilon)\subset Im(f)$ é conexo). Logo, $f^{-1}[B(x,\epsilon)]$ é homeomorfo a $]a,b[$ com $]a,b[\subset[0,1]$. Absurdo, não existe homeomorfiso entre uma bola e um intervalo.

Portanto, o interior de $f([0,1])$ é vazio.