Caracterização do fecho em termos de limites de sequências
A próxima proposição dá uma relação entre aderência e convergência. Em geral, estes conceitos não são equivalentes, entretanto, a equivalência é verdadeira quando consideramos espaços com base local enumerável, como veremos.
Proposição
Sejam $(X, \tau)$ um espaço topológico e $Y \subset X$. Sejam $x \in X$ e $(y_n)_{n \in \mathbb{N}}$ uma sequência de pontos de $Y$. Se $y_n \to x$, então $x \in \overline{Y}$. Demonstração
Exemplos
- Na Reta Esburacada, $0 \in \overline{]0,1[}$, mas não existe nenhuma sequência em $]0,1[$ que converge para $0$. Demonstração
A proposição seguinte caracteriza o fecho em termos de limites de sequências, em espaços com base local enumerável.
Proposição
Seja $(X,\tau)$ um espaço topológico satisfazendo o primeiro axioma de enumerabilidade. Sejam $Y \subset X$ e $x \in X$. Então, $x \in \overline{Y}$ se, e somente se, existe $(y_n)_{n \in \mathbb{N}}$ sequência de pontos de $Y$ tal que $y_n \rightarrow x$. Ideia $\;$ Demonstração