Conexos

Vamos começar definindo o que é ser Desconexo

Note que então, ser conexo significa que se existem $A,B$ abertos disjuntos tais que $X = A \cup B$, então $A = \emptyset$ ou $B = \emptyset$

• Mostre que um subconjunto $X$ de $\mathbb{R}$ é conexo se, e somente se, $X$ é um intervalo.

$\Rightarrow$)

1. Faça por contrapositiva, i.e, suponha que $X$ não é um intervalo e conclua que $X$ não é conexo.

$\Leftarrow$)

1. Sendo $X$ um intervalo, por absurdo suponha que $X$ não é conexo.
2. Escreva $X$ como união de dois abertos disjuntos $V,W$.
3. Tome $v \in V$ e $w \in W$, e S.P.G suponha $v < w$.
4. Defina $\alpha = sup\left\{x \in V: \left[v,x\right] \subset V \right\}$.
5. Conclua que $\alpha \not\in V$ o que implica que $\alpha \in W$, mas isso contraria a definição de $\alpha$ ser supremo.

• Mostre que se $X$ é conexo e $f: X \rightarrow Y$ é contínua, então $f[X]$ é conexo (i.e funções contínuas levam conexos em conexos).

1. Por absurdo suponha que $f[X]$ é disconexo.
2. Tome $A,B$ abertos em $Y$ disjuntos não triviais, com $f[X] \cap A, f[X] \cap B \neq \emptyset$, tais que $f[X] \subset A \cup B$.
3. Note que $f^{-1}[A], f^{-1}[B]$ atestam que $X$ não é conexo (contradição).

• Mostre que se X é conexo, e $f: X \rightarrow \mathbb{R}$ é contínua, tomando $a,b \in X$ tais que $f(a) \leq f(b)$, e $y \in \mathbb{R}$ é tal que $f(a) \leq y \leq f(b)$ então $\exists c \in X$ tal que $f(c) = y$

1. Este é um corolário do resultado anterior.

• Seja $X$ espaço topológico. Mostre que $Y \subset X$ é conexo se, e somente se, não existem $A, B \subset X$ mutuamente separados e não vazios tais que $Y = A \cup B$.

1. Suponha $Y$ conexo.
2. Suponha $A,B$ mutualmente separados, não vazios t.q $A \cup B = Y$.
3. Considere $U = Y \setminus \overline{A}$, $V = Y \setminus \overline{B}$.
4. Verifique que $U,V$ são disjuntos, e ambos não vazios.
5. Conclua que isso leva a uma contradição.
6. Agora suponha $Y$ não conexo, então $\exists U,V \subset Y$ abertos em $Y$, disjuntos e não vazios tais que $Y = A \cup B$.
7. Sem Perda de Generalidade, suponha $x \in \overline{U} \cap V$.
8. Conclua que isso leva a uma contradição.

Seja $X$ espaço topológico. Demonstre as proposições abaixo:

• Se $X = \bigcup_{\alpha \in I} X_\alpha$, onde cada $X_\alpha $ é conexo e $X_\alpha \cap X_\beta \neq \emptyset$ para quaisquer $\alpha, \beta \in I$ distintos, então $X$ é conexo.

1. Por absurdo, suponha que $X$ seja disconexo.
2. Tome $A,B \subset X$ mutuamente separados não vazios tais que $A \cup B = X$.
3. Note que $\forall \alpha \in I, X_\alpha \subset A$ ou $X \subset B$.
4. Suponha que existam $\alpha, \beta \in I$ tais que $X_\alpha \subset A$ e $X_\beta \subset B$.
5. Conclua que isso leva a uma contradição.

• Se para quaisquer $x, y \in X$ existir $A \subset X$ conexo tal que $x, y \in A$, então $X$ é conexo.

1. Fixe $x \in X$.
2. $\forall y \in X$, seja $A_y$ conexo tal que $x,y \in A_y$.
3. Utilize o resultado anterior para concluir o exercício.

• Se $A \subset X$ é conexo, para todo $B \subset X$ tal que $A \subset B \subset \overline{A}$, temos que $B$ é conexo.

1. Por absurdo, suponha que não.
2. Sejam $U,V$ mutuamente separados não vazios tais que $B = U \cup V$.
3. Note que $A \subset U \cup V$. Logo, por $A$ ser conexo, $A \subset U$ ou $A \subset V$.
4. Conclua que isso leva a uma contradição.