Propriedades locais de conexidade
Definição
Um espaço topológico $(X,\tau)$ é localmente conexo (resp. por caminhos) se todo ponto de $X$ admite uma base local conexa (resp. por caminhos).
- O espaço pente (com ou sem a origem) é conexo, mas não é localmente conexo.
- $[0, 1[\cup]1, 2]$ é localmente conexo, mas não é conexo.
Proposição
Se $(X,\tau)$ é um espaço conexo e localmente conexo por caminhos, então $(X,\tau)$ é conexo por caminhos. Demo.
Proposição
Se $(X,\tau)$ é localmente conexo, então todo ponto de $X$ tem componente conexa aberta. Demo.