$\mathbb{R}$ e $\mathbb{R}^2$ não são homeomorfos. Demonstração

O intervalo $[0, \infty)$ e $\mathbb{R}$ não são homeomorfos. Demonstração

O conjunto $S^1 = \{(x, y):x^2+y^2=1\}$ não é homeomorfo a qualquer subespaço de $\mathbb{R}$. Demonstração

Seja $t:T \rightarrow \mathbb{R}$ uma função contínua que mapeia um ponto na superfície da terra $T$ em sua respectiva temperatura, desconsiderando o fator temporal. Então existem dois pontos antípodas que compartilham da mesma temperatura. Demonstração

Função base 13 de Conway Demonstração