Componentes conexas são abertas em um espaço com uma quantidade finita delas
Sabemos que as componentes conexas de um espaço são sempre fechadas. Em geral elas não precisam ser abertas, por exemplo, a componente conexa de cada ponto $x$ da reta de Sorgenfrey é o conjunto unitário $\{x\}$. Mas, quando o espaço topológico $(X, \tau)$ possui uma quantidade finita de componentes conexas, então cada componente conexa é necessariamente um cojunto aberto, como veremos a seguir:
A ideia é mostrar que cada componente conexa será o complementar de uma união finita de fechados.
Seja $x \in X$ e denote por $C_{x}$ a componente conexa de $x$. Evidentemente temos que $$X = \cup_{x \in X} C_{x}.$$ Se $y \in C_{x}$ então o conjunto $C_{x} \cup C_{y}$ é um conexo que contém $x$, portanto $C_{x} = C_{y}$, isto é, as componentes conexas particionam o espaço $X$. Sendo assim, se o espaço possui uma quantidade finita de componentes conexas, podemos escrever $$X = C_1 \cup C_2 \cup \dots \cup C_n. $$ Veja que $$X \setminus C_i = C_1 \cup \dots \cup C_{i-1} \cup C_{i+1} \cup \cdots \cup C_n, $$ é uma união finita de conjunto fechados, logo $X \setminus C_i$ é fechado, de onde segue que cada $C_i$ é um conjunto aberto.