Seja $(X, \tau)$ um espaço topológico completamente regular e seja $x \in X$ e $F \subset X$ fechado tal que $x \notin F$, então sabemos que existe um função $f:X \rightarrow [0, 1]$ contínua tal que $f(x)=0$ e $f(F)=\{1\}$.

Consideremos agora $[0,1]$ com a topologia de subespaço, daí existem $0 < \delta_1 < \delta_2 < 1$ tais que $[0, \delta_1)$ e $(\delta_2, 1]$ são abertos, e $[0, \delta_1) \cap (\delta_2, 1] = \emptyset$. Nessas condições, $f^{-1}([0, \delta_1))$ e $f^{-1}((\delta_2, 1])$ são abertos tais que $x \in f^{-1}([0, \delta_1))$ e $F \subset f^{-1}((\delta_2, 1])$.

Além disso, estes abertos são disjuntos, pois $f^{-1}([0, \delta_1))\cap f^{-1}((\delta_2, 1]) = f^{-1}([0, \delta_1) \cap (\delta_2, 1]) = f^{-1}(\emptyset) = \emptyset$.

Portanto, $(X, \tau)$ é regular.