Compacidade e Funções Contínuas
Nesta seção, abordamos a relação entre o conceito de compacidade e funções contínuas. O principal resultado é o seguinte:
Proposição
Sejam $X, Y$ espaços topológicos e $f:X \to Y$ uma função contínua sobrejetora. Se $X$ é compacto, então $Y$ também é compacto. Demonstração
Note que poderíamos remover a hipótese de $f$ ser sobrejetora e, então, concluir apenas que $f[X]\subset Y$ é compacto. Outra adaptação que podemos fazer nessa proposição é de, ao invés de pedir que $X$ seja compacto, tomamos um $K\subset X$ compacto e concluimos que $f[K]\subset Y$ é compacto.
A partir deste resultado, conseguimos os seguintes corolários:
Corolário
Sejam $X, Y$ espaços topológicos, $Y$ Hausdorff e $f: X \to Y$ contínua. Se $F\subset X$ é compacto, então $f[F] \subset Y$ é fechado. Demonstração
Corolário
Sejam $X, Y$ espaços topológicos Hausdorff, $X$ compacto e $f: X \to Y$ contínua e bijetora. Então $f$ é um homeomorfismo. Demonstração