[Exercício 4.4.5.] Se toda função contínua é limitada, o espaço é compacto (para subespaços de $\mathbb{R}$).
Vimos que, se $K \subset \mathbb{R}$ é compacto, então toda função contínua $f : K \to \mathbb{R}$ tem imagem limitada.
Proposição: Para subespaços de $\mathbb{R}$, vale a volta do que foi descrito acima. Isto é, se $K \subset \mathbb{R}$ é tal que toda função contínua é limitada, então $K$ é compacto.
Demonstração: