Um resultado sobre o quadrado de Sorgerfrey e sua generalização
- Sabemos de antemão que a reta de Sorgerfrey ($\mathcal{R}_s$) é completamente regular, sabemos também que o produto de espaços completamente regulares é completamente regular. Além disso $\mathcal{R}_s$ é um espaço normal, porém $\mathcal{R}_s \times \mathcal{R}_s$ não é normal demonstrado aqui.
- Vamos verificar agora que existe um conjunto $K$ compacto e $T_2$ tal que $\mathcal{R}_s \times \mathcal{R}_s \subset K$
- Usando o método de compactificação de Stone - $\check{C}$ech, vamos criar tal $k = \{(f(x))_{f \in \mathcal{F}}: x \in \mathcal{R}_s \times \mathcal{R}_s\}\subset [0,1]^{\mathcal{F}}$, onde $\mathcal{F}$ é o conjunto das funções contínuas $f : \mathcal{R}_s \times \mathcal{R}_s \rightarrow [0,1]$.
- Sendo assim $\mathcal{R}_s \times \mathcal{R}_s$ completamente regular e $T_2$, $K$ é compacto e $T_2$.
- Com isso fica evidente que nem todo subconjunto de um conjunto normal é normal.
- Generalizando temos:
- Para todo espaço completamente regular $X$ que não é um espaço normal, existe ao menos um conjunto $K$ espaço normal tal que $X \subset K$. $\square$