Compactos

Uma das propriedades topológicas mais importantes é a compacidade:

Definição: Cobertura

Seja $(X, \tau)$ um espaço topológico. Dizemos que $\mathcal{A}$ é uma cobertura (ou recobrimento) de $X$ se $\bigcup_{A \in \mathcal{A}} A=X$. Neste caso, chamamos $\mathcal{A}$ de cobertura aberta se os elementos de $\mathcal{A}$ são abertos.

Definição: Espaço Compacto

Dizemos que o espaço topológico $(X, \tau)$ é um espaço compacto se para toda cobertura aberta $\mathcal{A}$ de $X$ existe uma subcobertura $\mathcal{A}^{\prime}$ (i.e., $\mathcal{A}^{\prime} \subset \mathcal{A}$ e $\bigcup_{A \in \mathcal{A}^{\prime}} A=X$ ) finita.

Mostre que qualquer espaço finito é compacto.

Definição: Sub-base

Seja $(X, \tau)$ um espaço topológico. Dizemos que $\mathcal{B}$ é uma Uma sub-base é algo que, sub-base para $X$ se $\left\{B_{1} \cap \cdots \cap B_{n}: B_{1}, \ldots, B_{n} \in \mathcal{B}, n \in \mathbb{N}\right\}$ é uma base para se fecharmos por inter$X$.

(Lema da sub-base de Alexander): Sejam $(X, \tau)$ espaço topológico e $\mathcal{B}$ uma sub-base para $X$. Se toda cobertura para $X$ feita por elementos de $\mathcal{B}$ admite subcobertura finita, então $X$ é compacto.

Prove pela definição a primeira implicação: se toda cobertura para $X$ feita por elementos de $\mathcal{B}$ admite subcobertura finita, então $X$ é compacto.
Suponha que $X$ não é compacto sendo $\mathcal{C}$ a coleção de abertos sem cobertura finita. Prova que $\mathcal{C}$ admite elemento maximal $C$.

Use o Lema de Zorn.
Prove que existe $x \in X$ tal que $x \notin B, \forall B \in \mathcal{B}\cap C $.
Seja $A \in C$ tal que $x \in A$. Note que $\exists B_1, \cdots, B_n \in \mathcal{B}$ tal que $x \in B_1\cap \cdots \cap B_n \subset A$.
Mostre que $C \cup \{B_j\}$ admite subcobertura finita.
Mostre que $\{A\}\cup C_1 \cup \cdots \cup C_n$ é cobertura de $C$. (DICA: analise quando $y \in A$ e $y \notin A$).
Conclua que o Lema é de fato verdadeiro.

Mostre que o intervalo $[0,1]$ com a topologia usual é compacto.

Defina a base $\mathcal{B}= \{[0,b[:b<1\}\cup\{]a,1]:a>0\}.$