Se $(X,\tau)$ é localmente conexo, então todo ponto de $X$ tem componente conexa aberta.

Demonstração

Sejam $x\in X$, $C$ componente conexa de $x$ e $y\in C$. Como $X$ é localmente conexo, existe $A$ aberto conexo tal que $y\in A$. Note que $A\cup C$ é conexo porque $y\in A \cap C$. Como $C$ é o maior conexo contendo $x$, temos $A\cup C \subset C$ e $A\subset C$. Logo $C$ é aberto.