Se $(X,\tau)$ é um espaço conexo e localmente conexo por caminhos, então $(X,\tau)$ é conexo por caminhos.

Demonstração

Sejam $x\in X$ e $C=\{y\in X:$ existe um caminho de $x$ para $y\}$. Afirmamos que $C$ é aberto de fechado. Com efeito,

$C$ é aberto

Seja $y\in C$. Como $X$ é localmente conexo por caminhos, existe $A$ aberto conexo por caminhos tal que $y \in A$. Seja $a\in A$. Então existe um caminho de $y$ para $a$. Como $y\in C$, existe um caminho de $x$ para $y$. Segue que existe um caminho de $x$ para $a$ e $a\in C$. Logo $A\subset C$ e $C$ é aberto.

$C$ é fechado

Seja $y\in X\backslash C$. Como $X$ é localmente conexo por caminhos, existe $A$ aberto conexo por caminhos tal que $y\in A$. Suponha que $A\cap C\neq\emptyset$ e seja $b\in C\cap A$. Como $b\in C$, existe um caminho de $x$ para $b$, e como $b\in A$, existe um caminho de $b$ para $y$. Então existe um caminho de $x$ para $y$. Mas isso contradiz $y\not\in C$. Logo, $A\cap C =\emptyset$ e $X\backslash C$ é aberto ($C$ é fechado).

Com isso, segue da conexidade de $X$ que $C=X$, ou seja, $X$ é conexo por caminhos.